前置き
2017～2018年の年末年始に行われた大型任務イベント（通称タワーイベント）では、小荷駄隊を運送するミッションがやたらと発生しました。小荷駄隊を運送するには、以下のどちらかの方法でしゅう馬のランクを上げる必要があります。
- 更新消費：2金貨を消費して、段階的にランクを上げる
- 直接開放：20金貨を消費して、一気に最高ランクまで上げる
そこでふと疑問に思ったのが、「これ、どっちの方がお得なのか？」ということ。
今回は理系的なアプローチ（といっても、高校数学ですが…）により、この問題に迫ります。ちょっと長くて複雑なので、細かいことはいいから結果だけ知りたい！という方は最後の方をご覧ください。
留意点
戦国義風では確率表示に怪しい部分がちらほら存在します。例えば装備LvUPの成功率が99%でも結構失敗するなんてよく聞く話ですし、逆に祭壇Lv1のLvUP成功確率は1%ですが、体感的にはもっと成功しやすいと感じた方も多いのではないでしょうか。
ですがしかし。。ここでは確率表示を信用して議論を進めます。更新成功確率50%なら成功と失敗は文字通り半々、でございます。
更新消費成功率のしくみ
しゅう馬システムでは、最高ランクの小荷駄隊に到達するまでに４つの段階（ランク）があり、それぞれ更新消費成功率の初期値が以下のように決まっています。
- 偵査車（ランク１）：50%
- 運輸車（ランク２）：40%
- 荷馬車（ランク３）：30%
- 軍用馬（ランク４）：20%
- ※小荷駄隊（最高ランク）：-
そして、
- 更新成功！(｀・ω・´)
- 更新失敗！(´・ω・｀)
→次ランクのしゅう馬の成功率の初期値が次の更新成功確率となります。
→“先程の更新成功確率+10%”が次の更新成功確率となります。
まとめると、以下の表のようになります。
| 更新消費回数 | 偵査車 | 運輸車 | 荷馬車 | 軍用馬 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 50% | 40% | 30% | 20% |
| 2 | 60% | 50% | 40% | 30% |
| 3 | 70% | 60% | 50% | 40% |
| 4 | 80% | 70% | 60% | 50% |
| 5 | 90% | 80% | 70% | 60% |
| 6 | 100% | 90% | 80% | 70% |
| 7 | 100% | 90% | 80% | |
| 8 | 100% | 90% | ||
| 9 | 100% |
例えば軍用馬の場合、20%の確率で一発成功となる反面、超絶的に運が悪いと更新ボタンを９回も押す羽目になります。
各段階における更新成功確率
まずは各段階における更新消費回数と成功確率の関係から見ていきましょう。
偵査車から考えていきます。
更新１回目での成功確率は50%です。
更新２回目での成功確率は、１回目は失敗し、２回目で成功する確率なので、
（１回目で失敗する確率）×（２回目で成功する確率）= 0.5(50%) × 0.6(60%) = 0.3(30%)
同様に、３回目での成功確率は、１、２回目で失敗し、３回目で成功する確率。
（１回目失敗）×（２回目失敗）×（３回目成功）= 0.5(50%) × 0.4(40%) × 0.7(70%) = 0.14(14%)
このように計算していくと、以下の表のような確率分布となります。偵査車は更新５回失敗すると次の成功確率が100%となるので、試行回数は６回までです（最悪の場合でも６回更新すれば運輸車にランクアップします）。
偵査車
| 試行回数 | 成功確率 | 突破確率 |
|---|---|---|
| 1 | 50% | 50% |
| 2 | 30% | 80% |
| 3 | 14% | 94% |
| 4 | 4.8% | 98.8% |
| 5 | 1.08% | 99.88% |
| 6 | 0.12% | 100% |
参考までに、それまでの試行回数での累積成功確率を「突破確率」として示しました。
これは「偵査車なら２回更新すれば８割方ランクアップするよね」というような目安になります。
同じような計算方法で、運輸車・荷馬車・軍用馬についても確率を計算すると、それぞれ以下の表のようになります（計算方法は上の偵査車のケースで示したものと考え方は同じなので、省略します）。
運輸車
| 試行回数 | 成功確率 | 突破確率 |
|---|---|---|
| 1 | 40% | 40% |
| 2 | 30% | 70% |
| 3 | 18% | 88% |
| 4 | 8.4% | 96.4% |
| 5 | 2.88% | 99.28% |
| 6 | 0.65% | 99.93% |
| 7 | 0.07% | 100% |
荷馬車
| 試行回数 | 成功確率 | 突破確率 |
|---|---|---|
| 1 | 30% | 30% |
| 2 | 28% | 58% |
| 3 | 21% | 79% |
| 4 | 12.6% | 91.6% |
| 5 | 5.88% | 97.48% |
| 6 | 2.02% | 99.5% |
| 7 | 0.45% | 99.95% |
| 8 | 0.05% | 100% |
軍用馬
| 試行回数 | 成功確率 | 突破確率 |
|---|---|---|
| 1 | 20% | 20% |
| 2 | 24% | 44% |
| 3 | 22.4% | 66.4% |
| 4 | 16.8% | 83.2% |
| 5 | 10.08% | 93.28% |
| 6 | 4.7% | 97.98% |
| 7 | 1.61% | 99.6% |
| 8 | 0.36% | 99.96% |
| 9 | 0.04% | 100% |
各段階における更新成功の期待値
次に期待値について考えます。
期待値というのは例えば、
「200万円投資して、500万円に増える可能性が50%、100万円に減る可能性が50%」
という場合、得られる金額の期待値は
500 × 0.5 + 100 × 0.5 = 300（万円）
ということで、投資額よりも高いリターンが期待できるので今回は投資しよう！みたいな感じで使われます。
今回は「何回更新すれば次のランクに上がることが期待されるか？」という問題で、前述の投資の話と比べるとスケール的にしょぼいですが、気にせずいきます。
さて、計算方法ですが、投資話が
【（リターンの額）×（そのリターンが得られる確率）】の総和
だったのと基本的には同じです。
【（試行回数）×（その試行でランクアップする確率）】の総和
で求めます。
偵査車（期待値）
| 試行回数 | 成功確率 | 期待値 |
|---|---|---|
| 1 | 50% | 0.5 |
| 2 | 30% | 0.6 |
| 3 | 14% | 0.42 |
| 4 | 4.8% | 0.192 |
| 5 | 1.08% | 0.054 |
| 6 | 0.12% | 0.072 |
| 合計 | 1.7732 | |
よって、偵査車→運輸車へのランクアップに必要な更新消費回数の期待値は1.773回（小数点以下第４位を四捨五入）となります。
同様の計算を他の３パターンについても行います（詳細は割愛）。すると、
- 運輸車→荷馬車：2.064回
- 荷馬車→軍用馬：2.445回
- 軍用馬→小荷駄隊：2.956回
となります。
最後に、これら４つの数字を足し合わせます。偵査車から小荷駄隊にランクアップさせるのに必要な更新消費回数の期待値は、
1.773 + 2.064 + 2.445 + 2.956 = 9.238（回）
１回の更新消費金貨は2金貨なので、消費金貨の期待値は
9.238 × 2 = 18.476（金貨）
これは小荷駄隊を直接開放したときの20金貨よりやや有利であるといえます。
結論
ということで、確率論上は2金貨を消費しながら、ちまちま更新するのが良さそうです。
今回のイベントで、計40回の更新作業を行いましたが、7～8回で済むこともあれば、たまに14～15回かかることもあったりして、体感的にも納得のいく数字かな、と思います（記録は取りませんでした…）。
ただ、冒頭でも述べたとおり、確率表記を信用する前提の話です。そんなに劇的に有利なわけでもないので、少し内部の数字が変われば逆転するかもしれません。その辺りを信じるか信じないかは、あなた次第ということで。
また、言うまでもないですが、無料更新が利用できる間は、もちろんそれを利用した方が断然お得です。
本記事が皆様の小荷駄ライフの一助となれば幸いです。
…結びの一言がパターン化してきてる気がする。